首先，我们明确题目中给出的方程是： $\frac{x}{z} = \ln\frac{z}{y}$ 我们的目标是求该方程关于$x$和$y$的偏导数，并在点$(0,2)$处进行求值。 1. **对方程两边关于$x$求偏导数**： $\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{z} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \ln\frac{z}{y} \right)$ 左边： $\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{z} \right) = \frac{1 \cdot z - x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}}{z^2} = \frac{z - x \frac{\partial z}{\partial x}}{z^2}$ 右边： $\frac{\partial}{\partial x} \left( \ln\frac{z}{y} \right) = \frac{1}{\frac{z}{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{z}{y} \right) = \frac{y}{z} \cdot \frac{\frac{\partial z}{\partial x} \cdot y - z \cdot 0}{y^2} = \frac{y}{z} \cdot \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{y} = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{z}$ 将左右两边相等，得到： $\frac{z - x \frac{\partial z}{\partial x}}{z^2} = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{z}$ 解这个方程关于$\frac{\partial z}{\partial x}$，我们得到： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z}{x + z^2}$ 2. **对方程两边关于$y$求偏导数**： $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{z} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \ln\frac{z}{y} \right)$ 左边： $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{z} \right) = \frac{x \cdot \frac{\partial z}{\partial y}}{z^2}$ 右边： $\frac{\partial}{\partial y} \left( \ln\frac{z}{y} \right) = \frac{1}{\frac{z}{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{z}{y} \right) = \frac{y}{z} \cdot \frac{z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} - z \cdot 1}{y^2} = -\frac{z}{y^2}$ 将左右两边相等，得到： $\frac{x \frac{\partial z}{\partial y}}{z^2} = -\frac{z}{y^2}$ 解这个方程关于$\frac{\partial z}{\partial y}$，我们得到： $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z^3}{xy^2}$ 3. **在点$(0,2)$处求值**： 由于$x=0$，我们不能直接代入上述偏导数公式中，因为分母会包含$x$。这意味着在点$(0,2)$处，方程关于$x$的偏导数可能是未定义的。 对于关于$y$的偏导数，我们可以尝试代入$y=2$，但由于我们不知道$z$在$(0,2)$的具体值，我们也不能直接求出$\frac{\partial z}{\partial y}$在$(0,2)$的值。 综上所述，由于$x=0$和缺乏$z$在$(0,2)$的具体信息，我们无法直接求出偏导数在$(0,2)$的值。 **注意**：在实际应用中，如果$z$是$x$和$y$的函数，并且这个函数在$(0,2)$处是已知的，那么我们可以利用这个信息来求出偏导数的值。但在这个问题中，我们没有这样的信息，所以无法给出具体的答案。
