牛顿插值法（Newton's Interpolation）是一种多项式插值方法，它使用差商（divided differences）来构建插值多项式。下面，我将为你提供一个简单的MATLAB实现，该实现能够计算并绘制牛顿插值多项式。 ### MATLAB 代码实现 ```matlab function newtonInterpolationDemo() % 示例数据点 x = [0, 1, 2, 3, 4]; y = [1, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8]; % 计算牛顿插值多项式 n = length(x); p = zeros(1, n); p(1) = y(1); % 计算差商表 for j = 2:n for i = j:n p(i) = (p(i) - p(i-1)) / (x(i) - x(i-j+1)); end end % 计算并绘制插值多项式在给定范围内的值 xi = linspace(min(x), max(x), 100); yi = zeros(size(xi)); % 使用牛顿插值公式计算插值点 for k = 1:length(xi) term = p(1); for j = 2:n term = term + p(j) * prod((xi(k) - x(1:j-1))); end yi(k) = term; end % 绘制结果 plot(x, y, 'o', 'DisplayName', '数据点'); hold on; plot(xi, yi, '-', 'DisplayName', '牛顿插值多项式'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('牛顿插值法示例'); legend show; grid on; end ``` ### 代码说明 1. **输入数据**：这里定义了插值所需的x和y坐标点。 2. **计算差商**：使用双重循环来计算差商表，差商表用于后续计算插值多项式。 3. **插值多项式计算**：对于每一个`xi`点，使用牛顿插值公式计算其对应的`yi`值。注意这里使用了一个`prod`函数来计算乘积项，这有助于快速生成所有需要的`(x - x_i)`项。 4. **绘图**：使用MATLAB的绘图功能来显示原始数据点和插值多项式。 ### 使用方法 将上述代码保存为`.m`文件，例如`newtonInterpolationDemo.m`，然后在MATLAB的命令窗口中输入`newtonInterpolationDemo()`来运行这个函数。你将看到一张图，上面展示了原始数据点和通过牛顿插值法得到的插值多项式。
