在MATLAB中求解给定方程 $2x^2 + x - 15 = 0$ 在区间 $(2, 3)$ 上的一个正根，我们可以采用多种数值方法。以下是几种常用的算法及其实现，以及它们的误差传播情况研究。 ### 1. 二分法（Bisection Method） 二分法是最简单直接的数值求解方法，通过不断缩小根的所在区间来逼近根的值。 ```matlab function root = bisection(f, a, b, tol) % f 是函数句柄，a, b 是包含根的区间端点，tol 是容忍误差 if f(a) * f(b) > 0 error('二分法需要函数在区间两端取值异号'); end while (b - a) / 2 > tol c = (a + b) / 2; if f(c) == 0 root = c; return; elseif f(a) * f(c) < 0 b = c; else a = c; end end root = (a + b) / 2; % 取中点作为近似根 end % 使用二分法求解 f = @(x) 2*x^2 + x - 15; root = bisection(f, 2, 3, 1e-6); disp(['近似根为：', num2str(root)]); ``` 误差传播主要取决于初始区间的大小和容忍误差`tol`。初始区间越小，`tol`越小，结果越精确。 ### 2. 牛顿法（Newton's Method） 牛顿法是一种快速收敛的方法，但需要函数的导数信息。 ```matlab function root = newton(f, df, x0, tol, max_iter) % f 是函数句柄，df 是其导数句柄，x0 是初始估计值 % tol 是容忍误差，max_iter 是最大迭代次数 for i = 1:max_iter x1 = x0 - f(x0) / df(x0); if abs(x1 - x0) < tol root = x1; return; end x0 = x1; end error('达到最大迭代次数仍未收敛'); end % 牛顿法求解 f = @(x) 2*x^2 + x - 15; df = @(x) 4*x + 1; root = newton(f, df, 2.5, 1e-6, 100); disp(['近似根为：', num2str(root)]); ``` 牛顿法的误差传播与初始猜测值`x0`的选取有关，且当导数接近零时可能不收敛。 ### 3. 弦截法（Secant Method） 弦截法类似牛顿法，但不需要导数信息，使用前一个和后一个迭代点的斜率近似导数。 ```matlab function root = secant(f, x0, x1, tol, max_iter) % f 是函数句柄，x0, x1 是初始迭代点 % tol 是容忍误差，max_iter 是最大迭代次数 for i = 1:max_iter fx0 = f(x0); fx1 = f(x1); if abs(fx1 - fx0) < eps % 避免除零 error('函数值相近，可能导致分母为零'); end x2 = x1 - fx1 * (x1 - x0) / (fx1 - fx0); if abs(x2 - x1) < tol root = x2; return; end x0 = x1; x1 = x2; end error('达到最大迭代次数仍未收敛'); end % 弦截法求解 root = secant(f, 2, 2.5, 1e-6, 100); disp(['近似根为：', num2str(root)]); ``` 弦截法的误差传播同样受初始迭代点选择的影响，但相比牛顿法，其实现更为简单且不需要导数信息。 ### 结论 每种算法都有其适用场景和优缺点。二分法简单但收敛速度慢；牛顿法收敛速度快但需要导数且可能在某些情况下不收敛；弦截法不需要导数但收敛速度介于二分法和牛顿法之间。选择哪种算法取决于具体问题的需求和可用的信息。
