为了证明给定的集合和运算构成群，我们需要验证群的四个基本性质：封闭性、结合律、单位元的存在性和逆元的存在性。 6. 对于整数集合Z和运算*： 封闭性：对于任意a, b ∈ Z，a*b = a + b - 7。由于a和b都是整数，它们的和也是整数，再减去7仍然是整数，所以a*b ∈ Z。 结合律：对于任意a, b, c ∈ Z，我们需要证明(a*b)*c = a*(b*c)。 (a*b)*c = (a + b - 7)*c = (a + b - 7) + c - 7 = a + b + c - 14 a*(b*c) = a*(b + c - 7) = a + (b + c - 7) - 7 = a + b + c - 14 由于两边相等，结合律成立。 单位元：我们需要找到一个元素e ∈ Z，使得对于任意a ∈ Z，都有a*e = a和e*a = a。 考虑e = 7，则a*e = a + 7 - 7 = a，e*a = 7 + a - 7 = a。 因此，7是单位元。 逆元：对于任意a ∈ Z，我们需要找到一个元素b ∈ Z，使得a*b = e和b*a = e。 考虑b = 14 - a，则a*b = a + (14 - a) - 7 = 7（单位元）。 因此，对于每个a ∈ Z，都存在逆元b = 14 - a。 综上，整数集合Z和运算*构成群。 7. 对于非零实数集R*和运算。： 封闭性：对于任意a, b ∈ R*，a。b = 2ab。由于a和b都是非零实数，它们的乘积也是非零实数，再乘以2仍然是非零实数，所以a。b ∈ R*。 结合律：对于任意a, b, c ∈ R*，我们需要证明(a。b)。c = a。(b。c)。 (a。b)。c = (2ab)。c = 2(2ab)c = 4abc a。(b。c) = a。(2bc) = 2a(2bc) = 4abc 由于两边相等，结合律成立。 单位元：我们需要找到一个元素e ∈ R*，使得对于任意a ∈ R*，都有a。e = a和e。a = a。 考虑e = 1/2，则a。e = 2a(1/2) = a，e。a = 2(1/2)a = a。 因此，1/2是单位元。 逆元：对于任意a ∈ R*，我们需要找到一个元素b ∈ R*，使得a。b = e和b。a = e。 考虑b = 1/(2a)，则a。b = 2a(1/(2a)) = 1/2（单位元）。 因此，对于每个a ∈ R*，都存在逆元b = 1/(2a)。 综上，非零实数集R*和运算。构成群。
