首先，我们需要明确等价关系的三个基本性质： 1. 自反性：对于集合A中的任意元素a，都有$(a, a) \in R$。 2. 对称性：如果$(a, b) \in R$，则$(b, a) \in R$。 3. 传递性：如果$(a, b) \in R$且$(b, c) \in R$，则$(a, c) \in R$。 现在，我们根据题目给出的集合A和等价关系R来验证这三个性质。 集合A = {a, b, c}，等价关系R = {$(a, a)$, $(b, b)$, $(c, c)$, $(a, b)$, $(b, a)$}。 1. 自反性验证： - $(a, a) \in R$ - $(b, b) \in R$ - $(c, c) \in R$ 因此，R满足自反性。 2. 对称性验证： - $(a, b) \in R$，则$(b, a) \in R$（满足） - $(b, a) \in R$，则$(a, b) \in R$（满足） - $(a, a)$、$(b, b)$、$(c, c)$都是自反的，自然满足对称性。 因此，R满足对称性。 3. 传递性验证： - $(a, b) \in R$且$(b, a) \in R$，则$(a, a) \in R$（满足） - $(b, a) \in R$且$(a, b) \in R$，则$(b, b) \in R$（满足） - $(a, a)$、$(b, b)$、$(c, c)$都是自反的，自然满足传递性。 由于没有其他元素对满足传递性的条件（如$(a, c)$或$(b, c)$），但题目中并未要求这些元素对必须存在于R中，因此只需验证存在的元素对即可。 因此，R满足传递性。 综上所述，R是集合A上的一个等价关系。
