为了找到函数 $z = f(xy, x+y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，我们需要使用链式法则。 首先，我们定义两个中间变量： $u = xy, \quad v = x + y$ 这样，函数 $z$ 可以表示为 $z = f(u, v)$。 接下来，我们分别求 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。 ### 求 $z$ 关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 使用链式法则，我们有： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ 其中， $\frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 1$ 代入得： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 1 = y \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$ ### 求 $z$ 关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 同样使用链式法则，我们有： $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ 其中， $\frac{\partial u}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 1$ 代入得： $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot x + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 1 = x \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$ ### 总结 $\frac{\partial z}{\partial x} = y \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$ 其中，$u = xy$ 和 $v = x + y$。
