$n$个$n$维向量不一定是线性无关的。 线性无关的定义是：对于一组向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$，如果它们满足 $k_1\mathbf{v}_1 + k_2\mathbf{v}_2 + \ldots + k_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$（其中$\mathbf{0}$是零向量） 只有当所有系数$k_1, k_2, \ldots, k_n$都等于0时，这组向量才被称为线性无关的。 考虑以下例子： 在二维空间中（即$n=2$），有两个二维向量$\mathbf{v}_1 = (1, 0)$和$\mathbf{v}_2 = (2, 0)$。这两个向量是共线的（因为$\mathbf{v}_2 = 2\mathbf{v}_1$），所以它们是线性相关的。具体来说，存在非零系数$k_1 = 1$和$k_2 = -2$使得 $k_1\mathbf{v}_1 + k_2\mathbf{v}_2 = (1)\cdot(1, 0) + (-2)\cdot(2, 0) = (1, 0) + (-4, 0) = (-3, 0) \neq \mathbf{0}$ 但注意，这里我们选择的系数$k_1$和$k_2$并没有使得向量和为零向量。然而，存在另一组系数（即$k_1 = 2$和$k_2 = -1$）使得向量和为零向量，即 $2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 = 2\cdot(1, 0) - 1\cdot(2, 0) = (2, 0) - (2, 0) = (0, 0) = \mathbf{0}$ 因此，这两个向量是线性相关的。 同样地，对于更高维的空间，$n$个$n$维向量也可能是线性相关的。只有当这$n$个向量构成一个基（即它们线性无关且可以张成整个$n$维空间）时，它们才是线性无关的。
