为了找到$1 - (\cos x)^{\frac{3}{2}}$的等价无穷小，我们可以利用泰勒级数（Taylor series）或者一些基本的三角恒等式和极限性质。但在这里，为了简化，我们将使用三角恒等式和等价无穷小的定义。 首先，我们知道当$x \to 0$时，$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$（这是$\cos x$在$x=0$处的二阶泰勒展开）。 然后，我们考虑$(\cos x)^{\frac{3}{2}}$。由于$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$，我们可以近似地写： $(\cos x)^{\frac{3}{2}} \approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ 为了简化这个表达式，我们可以使用二项式定理（但在这里，我们只关心$x^2$的项，因为其他项在$x \to 0$时都是更高阶的无穷小）： $\left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 1 - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = 1 - \frac{3x^2}{4}$ （注意：这里我们实际上是在做一种近似的等价替换，而不是严格的二项式展开，因为我们只关心$x^2$的系数。） 现在，我们可以找到$1 - (\cos x)^{\frac{3}{2}}$的等价无穷小： $1 - (\cos x)^{\frac{3}{2}} \approx 1 - \left(1 - \frac{3x^2}{4}\right) = \frac{3x^2}{4}$ 由于当$x \to 0$时，$\frac{3x^2}{4}$与$1 - (\cos x)^{\frac{3}{2}}$的比值趋近于1（即它们是等价的），所以$1 - (\cos x)^{\frac{3}{2}}$的等价无穷小是$\frac{3x^2}{4}$。 但需要注意的是，这种等价性只在$x \to 0$时成立。
