正态分布进行转换的标准化变量，通常指的是将原始数据通过一定的线性变换，转换为均值为0、标准差为1的正态分布变量。这个过程称为数据的标准化或正态化。标准化变量（通常记作$Z$）的转换公式为： $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 其中，$X$是原始数据，$\mu$是原始数据的均值，$\sigma$是原始数据的标准差。 ### 举例说明 假设我们有一个班级的学生考试成绩，这些成绩近似服从均值为$\mu = 75$分，标准差为$\sigma = 10$分的正态分布。现在，我们想知道一个学生考了90分，这个成绩在班级中处于什么水平（即高于多少比例的学生）？ 首先，我们将这个学生的成绩90分转换为标准化变量$Z$： $$Z = \frac{90 - 75}{10} = 1.5$$ 然后，我们可以利用标准正态分布表（或统计软件）来查找$Z = 1.5$对应的概率。在标准正态分布中，$P(Z < 1.5)$表示的是随机变量$Z$小于1.5的概率。由于正态分布是对称的，且均值为0，因此$P(Z < 1.5)$大约等于0.9332（这个值需要查表或使用统计软件得到）。 但是，我们要求的是高于这个成绩的学生比例，即$P(X > 90)$。由于正态分布是对称的，我们有： $$P(X > 90) = P(Z > 1.5) = 1 - P(Z < 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$$ 因此，这个考了90分的学生成绩高于了大约$6.68\%$的班级同学。 ### 总结 通过标准化变量的转换，我们可以将任何服从正态分布的随机变量的概率计算问题，转化为标准正态分布的概率计算问题，从而利用标准正态分布表或统计软件方便地求解。
