为了确定使闭环系统稳定的 $ T $ 的取值范围，我们需要分析特征方程 $ Ts^3 + (T+1)s^2 + 11s + 20 = 0 $ 的根是否全部位于复平面的左半部分。 特征方程的根可以通过求解该三次方程得到，但通常这种方法比较复杂。一个更实用的方法是使用劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）判据，该判据提供了一种通过检查多项式系数的符号和行列式来确定多项式根的位置的方法。 对于三次方程 $ as^3 + bs^2 + cs + d = 0 $，劳斯-赫尔维茨判据的表格如下： \[ \begin{array}{ccccc} s^3 & a & & & \\ s^2 & b & a & & \\ s^1 & c & \frac{b \cdot a - a \cdot 0}{a} = b & a & \\ s^0 & d & \frac{c \cdot a - b^2}{a} & \frac{b \cdot c - a \cdot d}{a} & a \\ \end{array} \] 其中，第一列是 $ s $ 的幂次，接下来的列是劳斯-赫尔维茨表格的系数。 对于给定的方程 $ Ts^3 + (T+1)s^2 + 11s + 20 = 0 $，我们有： - $ a = T $ - $ b = T + 1 $ - $ c = 11 $ - $ d = 20 $ 将这些值代入劳斯-赫尔维茨表格，我们得到： \[ \begin{array}{ccccc} s^3 & T & & & \\ s^2 & T+1 & T & & \\ s^1 & 11 & T+1-T = 1 & T & \\ s^0 & 20 & \frac{11 \cdot T - (T+1)^2}{T} & \frac{(T+1) \cdot 11 - T \cdot 20}{T} & T \\ \end{array} \] 计算中间两行的系数： - 第一行中间列：$ T+1 $ - 第二行中间列：$ 1 $ - 第三行第一列：$ 20 $ - 第三行第二列：$ \frac{11T - (T^2 + 2T + 1)}{T} = \frac{11T - T^2 - 2T - 1}{T} = \frac{9T - T^2 - 1}{T} = 9 - T - \frac{1}{T} $ - 第三行第三列：$ \frac{(T+1) \cdot 11 - T \cdot 20}{T} = \frac{11T + 11 - 20T}{T} = \frac{11 - 9T}{T} = \frac{11}{T} - 9 $ 劳斯-赫尔维茨判据要求所有系数必须为正，或者第一列的系数符号变化次数必须为偶数（对于稳定系统）。我们检查这些条件： 1. $ T > 0 $（因为 $ a = T $ 必须为正） 2. $ T+1 > 0 $（显然总是成立，因为 $ T $ 是实数） 3. $ 9 - T - \frac{1}{T} > 0 $ 4. $ \frac{11}{T} - 9 > 0 $ 解不等式 $ 9 - T - \frac{1}{T} > 0 $： \[ 9 > T + \frac{1}{T} \] 这个不等式没有简单的解，但可以通过分析函数 $ f(T) = T + \frac{1}{T} $ 的性质来找到解。函数 $ f(T) $ 在 $ T = 1 $ 时取得最小值 2，因此 $ 9 > 2 $ 总是成立，但这个条件没有帮助我们限制 $ T $ 的范围。我们需要进一步分析。 解不等式 $ \frac{11}{T} - 9 > 0 $： \[ \frac{11}{T} > 9 \] \[ 11 > 9T \] \[ T < \frac{11}{9} \] 综合以上条件，我们得到： - $ T > 0 $ - $ T < \frac{11}{9} $ 因此，使闭环系统稳定的 $ T $ 的取值范围是： \[ 0 < T < \frac{11}{9} \]
