首先，我们需要找出直线$2x = 3y = z - 1$的方向向量。 由直线方程$2x = 3y = z - 1$，我们可以得到两个方程： $\begin{aligned} 2x - 3y = 0, \\ z - 1 = 2x. \end{aligned}$ 从这两个方程中，我们可以得到直线的参数方程： $\begin{aligned} x = \frac{3}{2}t, \\ y = t, \\ z = 1 + 2t, \end{aligned}$ 其中$t$是参数。 由此，我们可以得到直线的方向向量为$\mathbf{d} = ( \frac{3}{2}, 1, 2 )$。 接下来，我们找出平面$4x + 2y + z = 0$的法向量。 由平面方程$4x + 2y + z = 0$，我们可以直接得到平面的法向量为$\mathbf{n} = (4, 2, 1)$。 要使直线平行于平面，直线的方向向量$\mathbf{d}$必须与平面的法向量$\mathbf{n}$垂直。即它们的点积必须为0： $\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0.$ 代入已知的$\mathbf{d}$和$\mathbf{n}$，我们得到： $\frac{3}{2} \times 4 + 1 \times 2 + 2 \times 1 = 0.$ 解这个方程，我们得到$y = -4$。 但这里似乎有些问题，因为$y = -4$并不是从原方程中解出来的，而是从方向向量和法向量的点积中解出来的，这实际上是一个矛盾。原题目中的直线方程$2x = 3y = z - 1$实际上描述的是一个点，而不是一条直线，因此它不能与任何平面平行。 所以，原题目中的直线方程$2x = 3y = z - 1$并不能与平面$4x + 2y + z = 0$平行，因为它描述的是一个点，而不是一条直线。
