为了证明$Y = F(X)$服从$[0,1]$上的均匀分布，我们需要证明其分布函数满足均匀分布的定义。 第一步，由题意知，随机变量$X$的分布函数$F(x)$是连续函数。 第二步，根据随机变量的分布函数的性质，对于任意实数$x$，有$0 \leq F(x) \leq 1$。 第三步，考虑$Y = F(X)$的分布函数。对于任意$y \in [0,1]$，我们需要找到$P(Y \leq y)$。 第四步，由于$F(X)$是$X$的分布函数，所以$P(X \leq x) = F(x)$。因此，$P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)$。 第五步，由于$F(x)$是单调不减的（这是分布函数的性质），所以$F(X) \leq y$等价于$X \leq x_y$，其中$x_y$是满足$F(x_y) = y$的解（注意，由于$F(x)$是连续的，这样的解总是存在的）。 第六步，根据第五步，我们有$P(Y \leq y) = P(X \leq x_y) = F(x_y) = y$。 第七步，注意到当$y < 0$时，$P(Y \leq y) = 0$（因为$F(X)$的最小值是0），当$y > 1$时，$P(Y \leq y) = 1$（因为$F(X)$的最大值是1）。 综上，我们证明了对于任意$y \in \mathbb{R}$，$P(Y \leq y) = \min(y, 1)$，当$y \in [0,1]$时，$P(Y \leq y) = y$，这正是$[0,1]$上均匀分布的分布函数。因此，$Y = F(X)$服从$[0,1]$上的均匀分布。
