为了解决这个问题，我们可以设计一个递归函数来模拟传染病的传播过程。这个递归函数需要考虑多个状态：潜伏期、发作期以及治愈后的状态。根据题目描述，我们可以设计如下：
1. 潜伏期（第1天到第5天）：不传染人，且患者数量不增加。
2. 发作期（第6天到第10天）：患者每天传染3个人，患者数量增加。
3. 治愈期（第10天之后）：不再传染人，但计算总患者数时仍需包括在内。
首先，我们定义一个递归函数`getPatients(int day)`，该函数返回第`day`天的患者总数。考虑到实际情况和递归的边界条件，我们需要处理一些特殊情况：
- 如果`day`小于等于0，那么返回0，因为没有负数天或零天。
- 如果`day`小于6（即还在潜伏期内），那么患者数量始终是1（只有初始的那个患者）。
- 对于发作期，我们需要递归地计算前一天的患者数，并加上当天新增的患者数（发作期的患者每天传染3人）。
- 过了发作期后，患者数量只增加不减少（包括那些已经治愈但仍被计算在内的患者）。
基于以上分析，我们可以写出以下C语言代码：
```c
#include
// 递归函数计算第day天的患者数
int getPatients(int day) {
if (day <= 0) {
return 0; // 不存在负天数或零天
} else if (day <= 5) {
return 1; // 潜伏期患者数量始终为1
} else if (day <= 10) {
// 发作期，每天新增3个患者，需要加上前一天的患者数
return getPatients(day - 1) + 3;
} else {
// 发作期过后，患者数量不再增加，但已感染的患者依然计入总数
// 由于在发作期的最后一天（第10天）已经通过递归计算了所有发作期的患者
// 因此这里只需返回第10天的患者数（即最后一天发作期的总数）
return getPatients(10);
}
}
int main() {
int N;
printf("请输入天数N: ");
scanf("%d", &N);
printf("第%d天共有%d名患者。\n", N, getPatients(N));
return 0;
}
```
注意：这个递归函数实际上在第10天之后并没有真正“递归”地计算每一天的患者数，因为一旦过了发作期，患者数就不会再增加了。所以，对于第10天之后的天数，我们都简单地返回了第10天的患者总数。这是一种效率上的优化，避免了不必要的重复计算。
此外，这个函数在处理大数据量（如非常大的`N`值）时可能会遇到性能问题，因为它包含了多次重复的递归调用。对于实际应用，可以考虑使用迭代方法来避免这些问题。不过，对于这个简单的示例和题目要求，递归方法已经足够清晰和直接。
