为了解这个问题，我们可以使用C语言编写一个递归函数。首先，我们需要明确问题的终止条件。假设财产总量为 `total`，当前儿子为第 `i` 个，已分配的财产数量为 `allocated`，剩余的财产为 `remaining`。
递归的基本思路是：
1. 对于第 `i` 个儿子，他得到的财产是 `i` 份加上剩余财产的 `1/10`。
2. 计算剩余的财产用于后续儿子的分配。
3. 递归地继续分配，直到所有的财产都被分配完毕，即 `remaining` 为 0。
但是，由于问题要求反向推导（从最终的结果推导出最初的财产数量和儿子数量），我们需要设计一种方法来通过给定最终儿子数量 `n` 来确定初始的财产总量 `total`。由于最终会达到一个状态，即所有财产都分配完毕且没有剩余，我们可以从这个状态反向构建递归。
不过，这里我们直接通过枚举的方式来解决这个问题，因为直接逆向递归求解初始财产量不太直观（因为需要知道分配后剩余为0的确切情况）。但我们可以通过试错法或者枚举可能的初始总量来找到满足条件的情况。
下面的C程序并不是用传统的递归函数来求解国王的儿子数和财产总数，而是通过一种简单的迭代或枚举方式来逼近答案，因为直接的递归解法需要我们从最终结果反向推回初始情况，这在问题描述中没有给出足够的信息。但我们可以给出一个示例性的解决方案，来枚举可能的财产总量，并找出第一个满足条件的总量。
```c
#include
int calculate_sons(int total) {
int allocated = 0, remaining = total, sons = 0;
while (remaining > 0) {
int share = sons + 1 + (remaining / 10); // 第i个儿子得到的份额
if (share > remaining) break; // 如果无法分配，跳出循环
allocated += share;
remaining -= share;
sons++;
}
if (remaining == 0) return sons; // 如果剩余为0，则返回儿子数量
return 0; // 否则返回0，表示当前总量不满足条件
}
int main() {
int total = 1; // 从1开始尝试
int sons = 0;
while (1) {
sons = calculate_sons(total);
if (sons > 0) {
printf("国王共有 %d 个儿子，财产共分成了 %d 份。\n", sons, total);
break;
}
total++; // 如果没有找到，继续尝试下一个总量
}
return 0;
}
```
注意：这个解决方案是基于枚举的，因为问题描述中并未给出足够的信息来直接递归地求解初始条件。我们简单地从1开始枚举可能的财产总量，直到找到一个使得所有财产都被恰好分配完且没有剩余的总量。在实际应用中，这种方法可能不是最高效的，但对于理解和解决这个问题已经足够了。
