首先，我们考虑二次函数$y = x^2 + x + 1$。 为了更容易地找到其值域，我们可以尝试完成平方，将其转化为顶点式。 $y = x^2 + x + 1 = (x^2 + x) + 1 = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ 由于二次项系数为正（即$a = 1 > 0$），我们知道这是一个开口向上的抛物线。 接下来，我们需要考虑定义域$x \in (0, +\infty)$对函数值域的影响。 由于抛物线开口向上，并且在$x = -\frac{1}{2}$处取得最小值（但这一点不在定义域内），因此在定义域$x \in (0, +\infty)$上，函数值$y$是随着$x$的增大而增大的。 当$x = 0$时（注意，虽然$x=0$不在开区间内，但我们可以取其作为接近开区间的下界的一个值来估算），$y = 0^2 + 0 + 1 = 1$。 由于函数在$x \in (0, +\infty)$上是增函数，并且当$x$趋近于正无穷时，$y$也趋近于正无穷，因此函数的值域为： $y \in (1, +\infty)$
