解： 首先，我们确定函数$y = f(x) = \ln(1 + x^{2})$的定义域。由于对数函数的定义域要求其内部大于0，所以我们有$1 + x^{2} > 0$，这个条件对于所有的实数$x$都成立，所以函数的定义域为全体实数集$R$。 然后，我们求函数的导数。利用对数函数的求导法则和链式法则，我们有 $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \ln(1 + x^{2}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^{2}}$。 接下来，我们需要判断函数在区间$(-1,0)$内的单调性。将$x$的取值范围限制在$(-1,0)$内，我们可以看到，由于$x$是负数且$1 + x^{2}$总是正的，所以$f^{\prime}(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}}$在$(-1,0)$内是小于0的。根据导数与函数单调性的关系，当导数小于0时，函数在该区间内是单调递减的。 所以，函数$y = f(x) = \ln(1 + x^{2})$在区间$(-1,0)$内是单调递减的。 故答案为：单调递减。
