在统计学中，置信区间的长度与样本量之间存在特定的数学关系。对于均值估计的置信区间，其长度通常与标准误差成正比，而标准误差又与样本量的平方根成反比。具体公式为： 置信区间长度 $ L = 2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ 其中： - $ z $ 是与置信水平相关的临界值（保持不变）， - $ \sigma $ 是总体标准差（假设不变）， - $ n $ 是样本量。 ### 目标分析 题目要求在置信水平不变的条件下，将置信区间长度缩小一半（即 $ L_{\text{新}} = \frac{L}{2} $）。根据公式，长度与 $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ 成正比，因此： $$ \frac{L_{\text{新}}}{L} = \frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n_{\text{新}}}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \sqrt{\frac{n}{n_{\text{新}}}} $$ 两边平方后得到： $$ \frac{1}{4} = \frac{n}{n_{\text{新}}} \quad \Rightarrow \quad n_{\text{新}} = 4n $$ ### 样本量变化 原样本量为 $ n $，新样本量为 $ 4n $，即样本量需增加到原来的4倍。相对于原样本量，增加量为 $ 4n - n = 3n $，因此样本量需**增加3倍**（即原样本量的3倍增量）。 ### 结论 在保持置信水平不变的条件下，欲使估计区间的长度缩小一半，样本量应增加3倍。
