拉普拉斯变换（Laplace Transform）在控制系统、信号处理等领域有广泛的应用。以下是拉普拉斯变换的微分性质和积分性质的简要说明。 ### 微分性质 若函数 \( f(t) \) 的拉普拉斯变换为 \( F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty f(t)e^{-st} \, dt \)，则 \( f(t) \) 的 n 阶导数的拉普拉斯变换为： \[ \mathcal{L}\left[\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right] = s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{n-k-1} f^{(k)}(0) \] 其中，\( f^{(k)}(0) \) 表示 \( f(t) \) 的 k 阶导数在 \( t = 0 \) 处的值。如果 \( f(t) \) 在 \( t = 0 \) 处没有定义，或者其导数在 \( t = 0 \) 处不连续，那么上述公式中的相应项将不存在。 ### 积分性质 若函数 \( f(t) \) 的拉普拉斯变换为 \( F(s) = \mathcal{L}[f(t)] \)，则 \( f(t) \) 的积分（假设 \( \int_0^\infty f(t) \, dt \) 存在）的拉普拉斯变换为： \[ \mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right] = \frac{1}{s} F(s) \] 注意，这里的积分是从 0 到 t 的。如果考虑从某个常数 \( a \) 到 t 的积分，那么结果将是 \( \frac{1}{s} F(s) - \frac{1}{s} \int_0^a f(\tau) \, d\tau \)。 ### 示例 #### 微分性质示例 假设 \( f(t) = e^{at} \)，其拉普拉斯变换为 \( F(s) = \frac{1}{s - a} \)。则 \( f'(t) = ae^{at} \) 的拉普拉斯变换为： \[ \mathcal{L}[f'(t)] = s \cdot \frac{1}{s - a} - f(0) = \frac{s}{s - a} - 1 = \frac{a}{s - a} \] #### 积分性质示例 假设 \( f(t) = 1 \)，其拉普拉斯变换为 \( F(s) = \frac{1}{s} \)。则 \( \int_0^t 1 \, d\tau = t \) 的拉普拉斯变换为： \[ \mathcal{L}\left[\int_0^t 1 \, d\tau\right] = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{s^2} \] 这与直接计算 \( t \) 的拉普拉斯变换结果一致。
