### 问题一：卡方统计量的计算 **题目描述**： 为了了解喜爱洋娃娃是否与性别有关，对于某幼儿园一个班级的50名学生进行调查，下列为喜爱洋娃娃的程度与性别之间的列联表相关数据： - 女生喜欢洋娃娃的人数为20人，不喜欢为5人， - 男生喜欢洋娃娃的人数为10人，不喜欢的人数为15人， 经计算卡方统计量的结果为（ ）。 选项： A. 8.798 B. 7.998 C. 8.889 D. 8.333 **解题步骤**： 1. **构建列联表**： 根据题目描述，可以构建如下的2×2列联表： | | 喜欢洋娃娃 | 不喜欢洋娃娃 | 总计 | |----------|------------|--------------|------| | 女生 | 20 | 5 | 25 | | 男生 | 10 | 15 | 25 | | 总计 | 30 | 20 | 50 | 2. **卡方检验的公式**： 卡方统计量（χ²）的计算公式为： $$ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} $$ 其中，O是观察频数，E是期望频数。 3. **计算期望频数**： 期望频数E的计算公式为： $$ E = \frac{\text{行总计} \times \text{列总计}}{\text{总样本量}} $$ 计算每个单元格的期望频数： - 女生喜欢：$ E_{11} = \frac{25 \times 30}{50} = 15 $ - 女生不喜欢：$ E_{12} = \frac{25 \times 20}{50} = 10 $ - 男生喜欢：$ E_{21} = \frac{25 \times 30}{50} = 15 $ - 男生不喜欢：$ E_{22} = \frac{25 \times 20}{50} = 10 $ 4. **计算卡方统计量**： 计算每个单元格的 $ \frac{(O - E)^2}{E} $： - 女生喜欢：$ \frac{(20 - 15)^2}{15} = \frac{25}{15} \approx 1.6667 $ - 女生不喜欢：$ \frac{(5 - 10)^2}{10} = \frac{25}{10} = 2.5 $ - 男生喜欢：$ \frac{(10 - 15)^2}{15} = \frac{25}{15} \approx 1.6667 $ - 男生不喜欢：$ \frac{(15 - 10)^2}{10} = \frac{25}{10} = 2.5 $ 将四个值相加： $$ \chi^2 \approx 1.6667 + 2.5 + 1.6667 + 2.5 = 8.3334 $$ 四舍五入后为8.333。 5. **选择正确的选项**： 计算得到的卡方统计量约为8.333，对应选项D。 **验证**： 为了确保计算的准确性，可以重新核对期望频数和卡方计算： - 期望频数计算正确。 - 卡方计算： - (20-15)²/15 = 25/15 ≈ 1.6667 - (5-10)²/10 = 25/10 = 2.5 - (10-15)²/15 = 25/15 ≈ 1.6667 - (15-10)²/10 = 25/10 = 2.5 - 总和：1.6667 + 2.5 + 1.6667 + 2.5 = 8.3334 ≈ 8.333 因此，正确答案是 **D. 8.333**。 ### 问题二：相关系数的计算 **题目描述**： 如果y关于x的回归方程为ŷ＝3－2x，R²＝0.81，则x与y之间的相关系数是（ ）。 选项： A. 0.9 B. 0.8 C. -0.9 D. -0.8 **解题步骤**： 1. **理解回归方程和相关系数的关系**： - 回归方程ŷ = a + bx中，b是回归系数，表示x每增加1单位，y的平均变化量。 - 相关系数r表示x和y之间的线性关系的强度和方向，其取值范围为[-1, 1]。 - 决定系数R²是相关系数r的平方，即R² = r²。 2. **已知信息**： - 回归方程：ŷ = 3 - 2x，因此回归系数b = -2。 - R² = 0.81。 3. **计算相关系数r**： - R² = r² ⇒ r = ±√R² = ±√0.81 = ±0.9。 - 回归系数b的符号与相关系数r的符号一致。因为b = -2（负），所以r也为负。 - 因此，r = -0.9。 4. **选择正确的选项**： r = -0.9，对应选项C。 **验证**： - 回归系数b = -2，说明x与y负相关，因此r应为负。 - R² = 0.81 ⇒ r = ±0.9，结合方向，r = -0.9。 因此，正确答案是 **C. -0.9**。 ### 最终答案： 1. 卡方统计量的结果为 **D. 8.333**。 2. 相关系数是 **C. -0.9**。
