首先，我们根据题目给出的信息，定义以下概率： $P(A \cup B)$ 表示A和B至少有一个发生的概率，已知为 $\frac{1}{4}$。 $P(A \cap \overline{B})$ 表示A发生且B不发生的概率，已知为 $\frac{1}{12}$。 我们需要求的是 $P(B)$，即B发生的概率。 利用概率的加法公式和乘法公式，我们有： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 但题目没有直接给出 $P(A)$ 和 $P(A \cap B)$，不过我们可以利用 $P(A \cap \overline{B})$ 来找到它们之间的关系。 注意到 $\overline{B}$ 是B不发生的事件，所以 $P(A \cap \overline{B})$ 就是A发生但B不发生的概率。 又因为 $P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A)$（即A发生的总概率是A和B同时发生与A发生但B不发生的概率之和），我们可以得到： $P(A) = P(A \cap B) + \frac{1}{12}$ 将这个表达式代入 $P(A \cup B)$ 的公式中，我们得到： $\frac{1}{4} = P(A \cap B) + \frac{1}{12} + P(B) - P(A \cap B)$ 化简后： $\frac{1}{4} = \frac{1}{12} + P(B)$ 进一步解得： $P(B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ 故答案为：$P(B) = \frac{1}{6}$。
